Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 1.

Kerbal Space Program » Гайды

1. Элементарная теория. Плоская задача достижения планеты

Итак, для простоты и понимания принципов расчета траекторий полета к другим планетам, рассмотрим эту задачу в следующих допущениях:

1. Орбиты планет - круговые, с радиусом равным большой полуоси
2. Орбиты планет лежат в одной плоскости

Траектория перелета от одной планеты к другой - это орбита вокруг центрального тела планетарной системы: Солнца в Солнечной, Кербола - в Кербальской. Наиболее выгодной с точки зрения затрат топлива будет орбита, изображенная на рисунке

Рис. 1. Компланарный перелет к внешней планете


Такие траектории впервые были предложены Вальтером Гоманом в 1925 году, в его фундаментальном труде "Достижимость небесных тел".

Мы хотим долететь до Дюны, которая, по отношению к Кербину, является внешней планетой, то есть орбита Кербина пролегает целиком внутри орбиты Дюны. Для перелета к ней, нам следует двигаться вокруг Солнца-Кербола по эллипсу, который в двух точках будет касаться орбиты Кербина и орбиты Дюны. Встреча с Дюной произойдет в точке, строго противоположной точке старта.

Чтобы двигаться по такой орбите вокруг звезды на придется располагать в точке старта K скорость, достаточной для движения о изображенной траектории. Рассчитаем эту скорость. Нам на помощь придет закон сохранения полной механической энергии

Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 1.


Слева - сумма потенциальной и кинетической энергии аппарата при отлете от Кербина, справа - та же сумма, но в момент прибытия в район Дюны. Масса m - масса космического аппарата, "мю" - гравитационный параметр центрального тела (звезды, Кербола!)

Мы не знаем скорость v, с которой прибудем к Дюне, но можем выразить её через начальную скорость у Кербина пользуясь вторым законом Кеплера



В конечном итоге мы получим формулу для скорости отлета к Дюне



Учитываем, что



как раз скорость движения Кербина по орбите вокруг солнца (если считать его орбиту круговой), поэтому формулу скорости отлета можно упростить



Проведя расчет получим v0 = 9960,2 м/с. Многовато, не правда ли?

Правда вот тут мы не должны забывать - стартуем мы с Кербина, а все что находится на Кербине уже несется в пространстве вокруг солнца со скоростью движения Кербина по орбите, а это - не много, не мало 9063,7 м/с, которые у нас уже есть. И нам не хватает всего-то 896,5 м/с для полного счастья. Эту добавочную скорость мы получим, правильно стартуя с околокербинской орбиты.

Как известно, для того чтобы "убежать" от какого-либо небесного тела надо развить в его окрестности параболическую скорость. Если мы находимся прямо на поверхности этого тела, то такую скорость называют второй космической скоростью для данного тела. Если мы стартуем с орбиты Кербина имея параболическую скорость (а это - 3222,9 м/с на орбите высотой 80 км), то улетая от Кербина по параболе, мы будем медленно и верно терять скорость, и оказавшись очень далеко, за пределами сферы гравитационного действия Кербина, будем иметь, относительно него нулевую скорость. Такой аппарат будет двигаться по той же самой орбите, что движется планета, которую он покинул.

А вот если мы стартуем со скоростью более параболической, то улетать мы будем по гиперболе, и в пределе, оказавшись очень далеко от родной планеты, мы будем иметь относительно неё некоторую постоянную скорость, так называемую скорость "на бесконечности". Попробуем определить величину этой скорости, снова воспользовавшись законом сохранения энергии. Учтем, что очень далеко, за пределами гравитационного колодца планеты, потенциальная энергия тела в её гравитационном поле равна нулю. Тогда, энергобаланс таков



здесь h - высота низкой орбиты вокруг Кербина, с которой производится старт; R - радиус Кербина; "мю" с индексом "К" - гравитационный параметр Кербина; v с индексом "бесконечность" - скорость, которую мы будем иметь очень-очень-очень далеко от планеты. Из этой формулы получаем скорость старта, необходимую для получения заданной скорости "на бесконечности"



что дает скорость vM = 3345,3 м/с, которую мы должны иметь при старте с орбиты Кербина. Но не торопимся.

Механика игры, на сегодняшний день, такова, что для моделирования полета в ней используется метод склеивания конических сечений. Всё пространство в планетарной системе разбито на области - гравитационные сферы действия тел, внутри которых считается, что на космический корабль не влияет никакое другое тело, кроме того, внутри сферы действия которого оно находится. При выходе из сферы действия (например Кербина) скорость, с которой корабль вылетает складывается векторно с орбитальной скоростью покидаемого тела, и по модулю и направлению полученной скорости (при вылете с Кербина это будет скорость относительно Солнца) строится новая орбита, вокруг того тела, в сферу влияния которого мы влетаем. И наоборот - влетая в сферу действия, например сферу действия Мун относительно Кербина, из скорости входа вычитается скорость орбитального движения Мун, полученная скорость относительно Мун служит для построения последующей траектории.

Таким образом, мы можем считать, что покинули гравитационное поле Кербина, если удалились от него на расстояние равное 84159,3 километра - таков радиус сферы действия Кербина относительно Кербола. Более точно этот радиус определяется формулой



где mK - масса Кербина; mS - масса Кербола; aK - большая полуось орбиты Кербина (среднее расстояние до Кербола). Соответственно мы уточняем скорость старта с орбиты Кербина



При расчете получаем скорость vM = 3332,9 м/с. С учетом того, что на круговой орбите высотой 80 км мы будем иметь орбитальную круговую скорость vk = 2278,9 м/с, мы получаем то приращение скорости, которое должен сообщить нашему "пепелацу" разгонный блок



Это и есть та "дельта", которую должен обеспечить нам разгонный блок для старта к Дюне. И, надо сказать, это значение весьма близко к тем цифрам, что мы имеем на практике при полете к Дюне.

Кроме того, разгон следует осуществлять в определенной точке орбиты. Понять в какой именно нам поможет чертеж

Рис. 2. Отлет к Дюне с орбиты Кербина


На рисунке видно, что старт следует производить в сторону орбитального движения Кербина, так, чтобы вектор скорости аппарата при выходе из сферы действия был параллелен вектору скорости Кербина. Положение точки старта M будем задавать как угол "пси" между точкой старта и направлением на Солнце. Поупражнявшись в геометрии и вспомнив свойства конических сечений, получаем значение этого угла



где e - эксцентриситет гиперболы, который зависит от начальной скорости в перицентре и круговой скорости на данной высоте над планетой



Нашем случае эксцентриситет гиперболы e = 1,1389. Угол psi = 118,6 градуса.

Таким образом, запуск двигателей разгонного блока для старта к Дюне всегда будет происходить над ночной стороной Кербина. Но это ещё не всё.

Выход из сферы действия Кербина должен произойти в такой момент времени, чтобы при прибытии корабля в противоположную точку траектории перелета там же оказалась и Дюна. Время движения по траектории перелета равно половине периода обращения корабля по орбите вокруг Солнца, на которую он выходит при перелете, что есть



где a - большая полуось орбиты перелета. Её легко посчитать



естественно, в метрах. Время перелета, выраженное в секундах, tau = 6682942 с. Если перевести это значение в Кербальский календарь (6 часов в сутках и 426 суток в году), то выходит 309 дней 2 часа 22 минуты 22 секунды. Теперь определим взаимное расположение Кербина и Дюны, для того, чтобы после выхода из сферы действия Кербина и перелета мы попали в Дюну. Период обращения Дюны по орбите, если считать эту орбиту круговой, равен Td = 17737240,6 секунд. Значит за одну секунду Дюна проходит дугу равную



градусов. За время перелета она должна пробежать по орбите дугу



градуса. Соответственно, Дюна должна опережать Кербин на угол



Угол phi называют фазовым углом.

2. Суровая реальность...

Проведенный нами расчет очень приближенный. Орбиты - не окружности а эллипсы. Плоскости орбит не совпадают. Поэтому в реальности расчет траектории перелета к планете - сложная задача, сопряженная с решением так называемой задачи Ламберта. А ещё мы не учли время движения по гиперболе после старта с Кербина.

Однако, этот расчет показывает основные принципы планирования полета к внешней планете. На его основе нетрудно сориентироваться при планирование полета в игре.

На этом первую часть цикла гайдов по межпланетным полетам я закончу. В дальнейшем мы рассмотрим, как перевести полученные нами знания в практическую плоскость и рассмотрим:

1. Планирование траектории в KSP
2. Коррекцию траектории
3. Выход в заданный район посадки на планету
4. Посадку и взлет с планеты.
5. Обратный перелет
6. Подход к Кербину и торможение в атмосфере с гиперболической скоростью

Продолжение следует...
Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 3. Программа "Звездочет"
Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 3. Программа "Звездочет"
13 окт 2015 в 09:16, Гайды
Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 2.
Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 2.
6 окт 2015 в 00:37, Гайды
  1. Nic Nout

    Nic Nout @Nic Nout 3 октября 2015 03:48

    Надеюсь Тебе не Титов под диктовку говорил nyaa
    Красава, если ВСЕ наизусть знаешь neo

  2. alexoff

    alexoff @Александр 3 октября 2015 04:07

    а как правильно летать среди спутников планет? я вот играю в "новые горизонты", где Кербин - спутник. там в принципе удивительно халявными оказываются перелеты, так как к скорости крафта плюсуется скорость Кербина, к которой плюсуется скорость Соннаха (планета - хозяин Кербина). но мехджеб никакие окна предсказать не может.

  3. Кербанавт 1

    Кербанавт 1 @Виктор 3 октября 2015 08:24

    ооо На лекциях по матану и физике пригодится

  4. SpaceKraken

    SpaceKraken @Космический Кракен 3 октября 2015 11:23

    *Так, что тут у нас?*
    *Хмм, наверное всё просто*
    *Смотрит на кучу непонятных формул*
    *Закрывает страницу*
    *Открывает её, пишет этот комментарий, и закрывает снова*

  5. Moryarty

    Moryarty @Альберт 3 октября 2015 13:05

    Это все потому что матан не для слабаков! laughing

  6. Will

    Will @Витёк 3 октября 2015 13:05

    Я знаю, что первая публикация и всё такое... Но такая статья, да еще и от пользователя с таким нмком... Короче пусть полежит на главной ))

  7. maisvendoo

    maisvendoo @Дмитрий 3 октября 2015 14:14 Автор

    Принцип совершенно тот же. Ведь планеты по сути - спутники звезды. Такая же картина и у системы "планета-спутники": планета - центральное тело, играет роль "звезды", а спутники играют роль "планет"

  8. fenya

    fenya 3 октября 2015 14:52

    Практическим путем трансферные окна высчитываются куда проще:
    "выстреливаешь" кораблём в рандомное время, фоткаешь расположение планет в начале путешествия, долетаешь (в случае внешних планет) до апоцентра, находишь угол корабль-солнце-планета. И в зависимости от того, "опередил" ли или "отстал" от планеты, вычитаешь или прибавляешь его к трансферному углу на сделанном в начале полёта скриншоте.

  9. Басила

    Басила 3 октября 2015 15:18

    Насколько я помню, трансферы внутри системы Сонна МЖ делает. С косяками, но делает. А для полетов к другим планетам надо стать спутником Сонны - advanced transfer помогает.

  10. 4ykotkA

    4ykotkA 3 октября 2015 17:33



    *Текст Вашего комментария слишком короткий*

  11. mmm99rus

    mmm99rus @mmm99 3 октября 2015 18:11

    Матана тут нет, физика: законы Кеплера - 10 или 9 класс, и закон сохранения механической энергии - 9 класс... на лекциях не пригодится... а вообще - это знать нужно, школьный курс...

  12. mmm99rus

    mmm99rus @mmm99 3 октября 2015 18:13

    Тут нет матана... максимум - элементарная ньютоновская механика... what
    А по поводу матана, +.

  13. mmm99rus

    mmm99rus @mmm99 3 октября 2015 18:15

    Автору +, годнота, только маловато рассказано про кривые второго порядка, и эллиптические орбиты.

  14. Will

    Will @Витёк 3 октября 2015 18:40

    Цитата: mmm99rus
    а вообще - это знать нужно, школьный курс...

    Хех! Да кто ж в школу чтобы учиться ходит то!? Скажешь тоже... neo

  15. Jenyaza01

    Jenyaza01 @Евгений 3 октября 2015 20:18

    Годнота, по самые уши.
    Я статью прочитал всю давай, пересказывай, больше хороших иллюстраций да куда уже, это вроде лучшие картинки, какие я видел, меньше формул а это я в уме решил а тут в википедию посмотрите.
    Плюс. И в репу, наверно, будет - за оригинальность - а то крафтов просто засилье.

  16. Gonzales_Gonzo

    Gonzales_Gonzo @Гонзо Гонзалес 3 октября 2015 22:22

    В современной школьной программе, где вместо астрономии закон божий, за упоминание Кеплера можно и на второй год остаться... Так что школьникам будет в самый раз.

  17. Gonzales_Gonzo

    Gonzales_Gonzo @Гонзо Гонзалес 3 октября 2015 22:29

    Практическим путём тыкаешь сюда - http://ksp.olex.biz/
    здесь - http://alexmoon.github.io/ksp/
    немножко тут - http://i.imgur.com/dXT6r7s.png
    и можно эльфийские руны представлять лишь в страшном сне.

    А разжевано в статье достаточно понятным языком, хоть и читал по диагонали, но подход почти общеобразовательный. Не хватает только предпосылок и сносок для начинающих, ведь статья уже подразумевает наличие у читателя какой-то исходной базы.

  18. maisvendoo

    maisvendoo @Дмитрий 4 октября 2015 00:17 Автор

    немножко тут - http://i.imgur.com/dXT6r7s.png

    порадовало, что фазовый угол для Дюны на этой схемке, совпал с моими расчетами до сотых )

  19. alexoff

    alexoff @Александр 5 октября 2015 11:29

    как от спутника к спутнику летать я знаю, вопрос - как со спутника летать к планете

  20. alexoff

    alexoff @Александр 5 октября 2015 11:31

    стать спутником энергетически невыгодно - 2.3 км/с с низкой орбиты Кербина достаточно, чтобы улететь к любой планете. а вешать спутник, чтобы по нему выискивать окна - лень.

  21. Taro-Kun

    Taro-Kun @Ярослав Арефьев 5 октября 2015 16:46

    Вот бы кто написал практическую статейку, по разгону об Мун, на примере Дюны)

  22. Fell-x27

    Fell-x27 @Денис 6 октября 2015 00:45

    В суровой реальности KSP есть планировщик, который можно тягать по орбите и смещать во времени(если кто не в курсе). Правда смещения кратны только оборотам по орбите. Все вам посчитает, все покажет, включая гравиманевры, дельту распишет, время прожига рассчитает и т.д.

    Статья, конечно, крутая, да. Автор молодец, это неоспоримо.
    Но едва ли кто-то в KSP играет, обвешавшись матлабом.

  23. Degrizai

    Degrizai 6 октября 2015 14:09

    Ооочень жду "Выход в заданный район посадки на планету", ибо постоянно закидывает в какую-то жопень...

  24. nikollor

    nikollor @Ник 6 октября 2015 15:11

    Это уже не космическая механика, это аэродинамика полета атмосферного... Другая тема совсем, с реальным миром связанная гораздо слабее. Используй лучше Trajectories.

  25. IronFenyx

    IronFenyx 6 октября 2015 22:17

    Если не к той, спутником которой является кербин, то выходишь на орбиту вокруг "Планеты" и представляешь что это кербин, а дальше как выше описано..

  26. IronFenyx

    IronFenyx 6 октября 2015 22:20

    Мы в школе такое не проходили, на сколько я помню. Я бы запомнил, т.к. про реактивное движение потом сам читал "внеклассно".

  27. mmm99rus

    mmm99rus @mmm99 9 октября 2015 22:08

    Цитата: Gonzales_Gonzo
    В современной школьной программе, где вместо астрономии закон божий, за упоминание Кеплера можно и на второй год остаться... Так что школьникам будет в самый раз.

    А в физ-мат школах этому учат, проверил на собственной шкуре)

  28. SlaDmiMar

    SlaDmiMar @Вячеслав 13 октября 2015 19:27

    Цитата: mmm99rus
    А в физ-мат школах этому учат

    Я знаю всего два Петербургский физмата, где этому учат в программе. И все же большинство получает эти знания с помощью самообразования.

  29. SlaDmiMar

    SlaDmiMar @Вячеслав 13 октября 2015 19:39

    Когда последний раз были статьи такого отменного качества? От себя:
    sqrt(vd^2+v2^2)=vp, где vd = необходимая скорость "для поднятия апоцентра орбиты до уровня орбиты тела-цели", v2 - вторая космическая тела-старта, v0 - итоговая необходимая скорость.

  30. lllypa

    lllypa @Александр 18 октября 2015 20:15

    шикаарно шикаарно.

Последние сообщения с форума
  • Тема в разделе: Игровой процесс
    Просмотров: 2691
    Ответов: 8
  • Тема в разделе: Технические вопросы
    Просмотров: 2682
    Ответов: 1
  • Тема в разделе: Технические вопросы
    Просмотров: 86627
    Ответов: 453
  • Тема в разделе: Предложения и Ошибки
    Просмотров: 366
    Ответов: 0
  • Тема в разделе: Модераторский раздел
    Просмотров: 310
    Ответов: 13
    Все сообщения..
    Полный список последних сообщений
    Loading...

    Нашли ошибку?
    Вы можете сообщить об этом администрации.
    Выделив текст нажмите Alt+Ctrl