KerboScript в примерах и задачах. Часть 5. Выход на орбиту. Опять.

В этой части посмотрим, как при помощи управления с обратной связью выйти на орбиту с требуемой ориентацией в пространстве. Приложений для такой задачи может быть множество - это и выполнение контрактов по выводу спутников, и спасение незадачливых кербалов, и запуск орбитальных сканеров, и выход на опорные орбиты для запуска к другим планетам и спутникам (особенно если стартовать не с Кербина). Конечно, в принципе можно сначала выйти на орбиту как попало, а потом выходить в нужную плоскость орбитальным маневрированием. Но это весьма затратно, поэтому целесообразно по возможности выходить в требуемую плоскость прямо со старта.

Плоскость орбиты, как мы помним, задаётся наклонением и долготой восходящего узла. Опытные игроки знают, что с земли можно выйти на орбиту, наклонение которой не меньше, чем широта места старта. Для пуска на наклонные орбиты нужно со старта держать курс не ровно на восток, а чуть севернее или южнее. Выход на нужную долготу восходящего узла осуществляется правильным подбором времени старта - по сути, нужно стартовать чуть раньше, чем плоскость целевой орбиты пройдёт над космодромом (точнее, космодром за счёт суточного вращения планеты попадёт в нужную плоскость).

Попадание в нужную долготу восходящего узла определяется выбором времени старта, поэтому с точки зрения управления ракетой на взлёте, основной является задача выхода на заданное наклонение. Ей и займёмся.

Теория старта на нужное наклонение описана, например, тут. Сделаю здесь краткую выжимку.
1) Плоскость орбиты пересекает сферу планеты по окружности с центром в центре планеты.

2) Если меридиан пересекает орбиту с наклонением i на широте φ, то путевой угол ξ между меридианом и орбитальной скоростью (азимут вектора орбитальной скорости на этой широте) определяется соотношением
(что демонстрируется методами линейной алгебры, но здесь вывод приводить не буду)
Из этой формулы как раз следует, что должно выполняться условие |cos i| ≤ |cos φ|, т.е. минимальное наклонение равно широте места старта по модулю, а максимальное 180° минус широта места старта.
В стоковой игре космодром можно считать находящимся на экваторе, поэтому доступны, по сути, любые наклонения, а sin ξ = cos i, т.е. ξ = 90° - i.

3)Ракета, стоящая на поверхности, имеет орбитальную скорость, направленную на восток, и равную по модулю
где R_body - радиус тела, с которого ракета стартует, T_rot - длительность звёздных суток на этом теле. Для оценки азимута, под которым нужно пускать ракету на круговую орбиту с заданным наклонением, можно представить выход на орбиту как мгновенный подъём аппарата на высоту орбиты и добавку к скорости поверхности некоторого вектора до орбитальной скорости. Векторная диаграмма:

Из диаграммы ясно, как вычислить азимут пуска Az:

Вывод:
В идеальном случае (если планета не вращается) потребовалось бы держать курс всё время по азимуту ξ(i, φ), в реальности нужно делать компенсацию вращения планеты. Поэтому со старта разворачиваем ракету по азимуту Az, а потом по ходу дополнительно подтягиваем путевой угол к азимуту ξ(i, φ) управлением по курсу. Осуществить это подруливание можно при помощи ПИД-регулятора, где в качестве ошибки брать разность истинного курса в данный момент и ξ(i, φ).

Альтернативно можно разложить скорость на две компоненты: лежащую в плоскости с заданным наклонением и "боковую", т.е. ортогональную этой плоскости. В этом случае боковая компонента орбитальной скорости и будет ошибкой управления, которую требуется обнулить. Это также можно сделать ПИД-регулятором.

Мне больше нравится второй способ, поэтому привожу его реализацию.
Управление ракетой по тангажу производится тем же способом, что представлен в первой части. Добавляется управление по курсу, которое делается ПИ-регулятором.
Дополнительная хитрость: после того, как "боковая" скорость зануляется, необходимое наклонение орбиты достигнуто. Это значит, что дальше нужно просто держать курс по азимуту ξ(i, φ). Но в регуляторе накопится ошибка в интегральной компоненте, поскольку со старта до этого момента боковая скорость всегда была на восток, и регулятор будет продолжать тянуть скорость дальше на запад. Чтобы этого не происходило, при попадании на правильное наклонение обнулим интегральную компоненту регулятора и дальше движемся по курсу ξ(i, φ).



Для выхода в нужную орбитальную плоскость, т.е. на требуемое наклонение с требуемой долготой восходящего узла, нужно стартовать в тот момент, когда космодром проходит под орбитальной плоскостью. Чтобы определить эту плоскость, вспомним, что долгота восходящего узла отсчитывается от вектора, называемого в kOS SOLARPRIMEVECTOR. Чтобы получить нормаль к плоскости орбиты, нужно повернуть вектор полярной оси планеты (т.е. V(0,1,0) в kOS), на наклонение орбиты вокруг вектора восходящего узла. А чтобы получить вектор восходящего узла, нужно повернуть SOLARPRIMEVECTOR на долготу восходящего узла против часовой стрелки. Получается такая функция:

function DirANNorm {
// forevector - линия узлов, upvector - нормаль
  parameter lan, incl.
  local basedir to lookdirup(SolarPrimeVector, V(0,1,0)).
  // углы поворота будут со знаком минус,
  // т.к. в игре положительное направление вращения по часовой стрелке
  set basedir to angleaxis(-lan, V(0,1,0))*basedir.
  set basedir to angleaxis(-incl, basedir:forevector)*basedir.
  return basedir.
}

"Точка старта проходит под плоскостью орбиты" означает, что угол между вектором от центра планеты к точке старта равен 90° (в реальности так сложно попасть, поэтому пусть будет "близок к 90°").

Этот способ позволяет понять, можно уже стартовать или надо подождать. Есть и другой способ, с помощью которого можно определить, сколько именно осталось ждать.

Определим "виртуальную" плоскость орбиты, которая получится, если из данной точки мгновенно попасть на нужное наклонение. Для этого нужно, чтобы орбитальная скорость была направлена по уже определённому азимуту ξ(i, φ). Это направление легко получить из kOS как V_virt = heading(xi, 0):vector. После чего находим нормаль к этой виртуальной орбите как n_virt = [R_ship × V_virt] и линию узлов как AN_virt = [V(0,1,0) × n_virt]. Угол между AN_virt и SOLARPRIMEVECTOR - это долгота восходящего узла, если стартовать прямо сейчас. Время, которое нужно подождать, равно, очевидно,
Δt = (LAN_desired - LAN_virt) T_rot / (2π).
Желательно, конечно, стартовать не прямо в это время, а чуть пораньше (в стоке - примерно на минуту, в реальности с Земли примерно за 5 минут), т.к. поворот орбитальной скорости в нужную плоскость происходит не мгновенно.

Кроме старта в правильно подобранное время, неплохо бы придумать алгоритм, который бы постепенно приводил ракету в заданную плоскость. В этом видео предлагается рулить согласно уравнению пересечения плоскости со сферой в координатах "широта-долгота". Я предлагаю альтернативный метод: рулить на основе расстояния от нужной плоскости.

Расстояние от ракеты до произвольной плоскости, проходящей через центр планеты, равно
d = (R_ship · n),
где n - вектор нормали к плоскости. Это расстояние будет со знаком, и однозначно определяет, в какую сторону нужно рулить:
при d > 0 нужно брать азимут больше ξ(i, φ);
при d < 0 нужно брать азимут меньше ξ(i, φ).

Для такого подруливания опять будем использовать ПИД-регулятор.


Для наиболее эффективной работы ПИД-регулятора нужно подобрать хорошее время старта. Для прилагаемого крафта наилучший результат оказывается, если стартовать за 75 секунд до поворота космодрома в орбитальную плоскость. Для других аппаратов это время может быть немного другим, в зависимости от длительности участка вывода.



В следующей части рассмотрим использования ПИД-регуляторов при программировании посадки на безатмосферные тела.