Теория и практика межпланетных перелетов. Часть 2.

1. Кеплеровы элементы планетарной орбиты

В самом-самом общем случае орбита планеты выглядит так



Для того чтобы знать, как планета расположена в пространстве необходимо, во-первых, задать точку отсчета. В Солнечной системе в качестве опорной плоскости, по отношению к которой рассматривают орбиты планет берут плоскость орбиты Земли, называя её плоскостью эклиптики, или просто эклиптикой. К гадалке не ходи (да и если внимательно почитать вики, становится ясно), что эклиптикой в Кербальской системе является плоскость орбиты Кербина.

В качестве направления отсчета углов в Солнечной системе выбирается прямая, проходящая через центр Солнца в сторону точки, расположенной в созвездии Овна и называемой точкой весеннего равноденствия. Называется она так потому, что на земном небе, положение Солнца и положения этой точки совпадают именно 23 марта, вдень весеннего равноденствия.

В Кербальской системе так же принято направление отсчета углов, однако связать его с какой-либо точкой на небе не выйдет - в KSP нет нормального звездного неба - звезды нарисованы и ни одна из них, кроме Кербола не может быть идентифицирована. Но нас это не волнует - таковое направление имеется, а нас будут больше интересовать относительные показатели положения планет, чем абсолютные. Будем считать, что в KSP так же имеется точка весеннего равноденсвия (ТВР), на чертеже выше обозначенное значком Овна.

Итак, как же задать положение планеты? В плоскости своей орбиты её положение задается одним единственным углом theta - истинной аномалией - угол между текущим положением планеты и направлением на перицентр (между отрезками SM и SP). Плоскость орбиты может быть наклонена к плоскости эклиптики (плоскость орбиты Кербина!) под некоторым углом i, который называется наклонением орбиты. В этом случае она пересекат эклиптику по прямой nm. В точке n находится, так называемый, восходящий узел орбиты - точка лежащая в эклиптике, двигаясь из которой планета начинает подниматься над плоскостью эклиптики. Угол между между прямымой Sn и направлением на ТВР называется долготой восходящего узла Omega. И, наконец, положение перицентра по отношению к восходящему узлу задаемся углом nSP, на рисунке обозначенном omega - этот угол называют аргумент перицентра.

Так, ну а как же быть с расстоянием от планеты до солнца и как связать все это с временем? Для этого рассмотрим подробнее параметры эллиптической орбиты



Согласно первому закону Кеплера - орбита планеты - эллипс, в одном из фокусов которого находится солнце. На рисунке солнце находится в точке S. Геометрический же центр эллипса находится в точке C. Длины отрезков AC = CP = a - большая полуось орбиты, среднее арифметическое между наибольшим и наименьшим расстояниями от планеты до солнца



Мерой "сплюснутости" эллипса служит эксцентриситет, выражающий, насколько далеко фокус эллипса отстоит от его геометрического центра



Если e = 0, то орбита планеты будет круговой, с радиусом равным a. Круговую орбиту имеет например Кербин - расстояние от него до Кербола не меняется, что сильно облегчает жизнь при расчетах. В реальной жизни идеальных круговых орбит не наблюдается, у той же Земли, эксцентриситет, хоть и небольшой, но все же не ноль. Для эллиптических орбит значение эксцентриситета лежит в пределах 0 < e < 1.

Большая полуось и эксцентриситет полностью задают форму орбиты, и, зная истинную аномалию можно вычислить расстояние от планеты до солнца



Зная большую полуось можно рассчитать время полного оборота планеты по орбите - сидерический период обращения или просто период обращения



И вот тут возникает резонный вывод - для того чтобы осуществить перелет от одной планеты к другой, надо веть знать их взаимное расположение в любой интересующий нас момент времени. Иначе как мы определим, в какой год, день и час между планетами будет нужный для перелета фазовый угол.

2. Общий метод вычисления эфемерид

Чтобы связать положение планеты на орбите со временем нам надо знать в каком году, в какой день, час, минуту, и даже секунду, планеты последний раз находилась в перицентре. Желательно, чтобы эта информация была как можно более свежей. В тех астрономических таблицах с которыми я столкнулся впервые как раз и была указана дата прохождения планетой перигелия tp.

В KSP этот момент задается другим параметром - средней аномалией. Средняя аномалия - угол M, который прошла бы планета по орбите за время t, если бы двигалась равномерно с угловой скоростью



где T - период обращения планеты. В KSP-вики для каждой планеты указана средняя аномалия M0 для эпохи J0, то есть в для даты 1y 1d 0h 0m 0s (в первый год, первый день 0 часов 0 минут 0 секунд по кербальскому времени). Значит можно вычислить среднюю аномалию для любого другого момента времени t



где t0 - момент времени, в секундах, для той эпохи, которой соответствует значение M0. Для кербальской системы t0 = 0. Интересующий нас момент времени t в секундах можно рассчитать по дате кербальского календаря, пользуясь формулой



где y - год; d - день; h - час; m - минуты; s - секунды.

Для Кербина этим можно и ограничится - раз его орбита круговая, то истинная аномалия равна средней. Если орбита эллиптическая, то для нахождения истинной аномалии придется решить уравнение Кеплера



где E - угол, именуемый эксцентрической аномалией. Это уравнение получено Кеплером на основе геометрических представлений и вытекает из его законов движения планет. Оно получено задолго до появления законов Ньютона, применяя которые к движению планеты можно крайне строго вывести это самое уравнение. Оно - результат решения дифференциального уравнения движения планеты, и чтобы получить эту формулу, приходится брать интеграл с хитринкой.

Но нам это без надобности, нам надо решить это трансцендентное уравнение, чтобы найти угол E, зная который мы получим истинную аномалию



и расстояние от планеты до солнца



А теперь опробуем данные формулы для вычисление положения скажем... да той же Дюны, для интересующего нас момента времени

3. Успехи кербальской астрономии

Для планеты Дюна, согласно KSP-вики имеем

Большая полуось орбиты a = 20726155264 м
Эксцентриситет e = 0.05
Наклонение орбиты i = 0.06 градуса
Аргумент перицентра omega = 0
Долгота восходящего узла Omega = 135.5 градуса
Средняя аномалия M0 = 3.14 радиан
Период обращения T = 17315400 c

На моем календаре в KSP 31 год 346 день 5 часов 32 минуты. В секундах это будет



Вычисляем истинную аномалию



Замечу ещё раз - вычисленный угол задан в радианах. Раз он больше двух пи, то за 31 год Дюна совершила не один оборот вокруг Кербола. Отбросив лишние обороты получим



Теперь самое вкусное - находим эксцентрическую аномалию, решая уравнение Кеплера. Проще всего (но дольше всего) его решить используя метод итераций или метод последовательных приближений, описываемый рекурентной формулой



В качестве начального приближения возьмем среднюю аномалию



Теперь вычислим новое, первое, приближение



Ага, мы видим, что полученное значение отличается от предыдущего. Принимая его вместо E вычисляем следующие приближение, до тех пор, пока разница между текущим приближением и вновь вычисленным не станет меньше некоторой нужной нам точности. Скажем, пусть совпадут шесть знаков после запятой



Вуаля! На пятой итерации получилось совпадение в даже в седьмом знаке. Принимаем последнее значение в качестве эксцентрической аномалии E = 5.4520927 рад. Теперь, наконец, вычисляем истинную аномалию



Вычисляя арктангенс и учитывая, что эксцентрическая аномалия - развернутый угол, получаем значение истинной аномалии



Это примерно 310.23 градуса - в рассматриваемый момент времени Дюна не добегает около 49 градусов до перицентра.

Грош цена бы этим вычислениям, если они не совпадают с тем, что мы должны увидеть в игре. Проверим?

4. Эксперимент в KSP

Лезем в KSP и, с помощью плагина HyperEdit переводим дату на UT 31y 346d 5h 32m. Отставить гнилые помидоры и тухлые яйца! Да-да, я читал что HyperEdit это чит... А что плохого в том, чтобы перевести дату на нужную, вместо того чтобы судорожно ловить стартовое окно 100000х варпом? Наша задача - понять механику игры, и тут грех не использовать удобное средство. В окне HyperEdit дата вводится в секундах от эпохи J0.

Вот положение Дюны



Она явно не в крайней точке орбиты - высота над Керболом меняется на глазах.

Дальше, путем вычислений, обратных проведенным выше, находим, что Дюна была в перицентра в момент UT 1y 402d 0h 8m 9s. Ставим эту дату



Это явный перицентр - расстояние до звезды на глаз не меняется, а значит в этой точке крайне мала радиальная скорость. Теперь совмещаем два скрина и меряем угол



С учетом того, что мышкой не вывести плоскость точно и учитывая погрешность измерения угла в Inkscape делаем вывод, что мы всё верно расчитали.

Наконец вычислим расстояние от Дюны до Кербола в UT 31y 346d 5h 32m. И вот тут выходит некоторая неточность, ибо с учетом радиуса Кербола в 261600000 м мы получаем высоту над Керболом 19766012240 м, а на скриншоте немного другое число. Что ж, попробую выяснить в чём дело, а пока

Выводы

Аналогичная процедура применима к любой другой планете кербальской системы, и к любой планете Солнечной системы. Теперь мы умеем вычислять положение планет в KSP.

В следующий раз мы увидим, для чего нужны параметры ориентации плоскости орбиты в пространстве, о которых мы говорили. Наша задача научится вычислять эклиптическую долготу планеты, веть разность эклиптических долгот планеты и Кербина и есть тот самый фазовый угол, необходимый для точного расчета окна старта.

Продолжение следует...

P.S.: Небольшое исследование внутренностей KSP (законными методами, через SDK) дало понять причину неточного расчета. Дело в том что в вики даются округленные параметры орбит. Текст не переписываю, приложу только результат того же расчета но с реальными параметрами орбит